Kantong Pengetahuan Umum

A. Kaidah Pencacahan

cara, …., tempat ke-k dengan cara, maka banyaknya cara untuk mengisi tempat k yang tersedia adalah ….

P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus : Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3


3. Kisaran Nilai Peluang
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
C. Peluang Suatu Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :



2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :

5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

D. Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:


Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, .... ,n Dengan P sebagai parameter dan

P = Peluang sukses

n = Banyak percobaan

x = Muncul sukses

n-x = Muncul gagal

Sumber

 http://hernakuncoro.blogspot.com/2009/03/peluang.html

Contoh soal

1. Tono mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga
memiliki 2 buah celana warna hitam dan putih yang berbeda. Ada berapa
pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda?
Penyelesaian
Jadi banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian sebanyak
3 × 2 = 6 cara.
Dengan aturan jumlah:
Warna atau jenis baju warna celana pasangan baju dan celana
Jadi banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian sebanyak
2 + 2 + 2 = 6 cara.
Putih
Batik
Coklat
Hitam
Cokelat
Putih, Hitam
Putih, Cokelat
Hitam
Cokelat
Batik, Hitam
Batik, Cokelat
Hitam
Cokelat
Cokelat, Hitam
Cokelat, Cokelat
putih (p)
cokelat (c)
batik (b)
hitam (h)
cokelat (c)
hitam (h)
cokelat (c)
hitam (h)
cokelat (c)
(p, h)
(p, c)
(c, h)
(c, c)
(b, h)
(b, c)

2. Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari
4 angka, padahal tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu
tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian
Untuk menjawab pertanyaan tersebut marilah kita pakai pengisian tempat
kosong seperti terlihat pada bagan berikut.
Dibuat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b),
(c) dan (d) sebab nomor kendaraan itu terdiri dari
4 angka.
Kotak (a) dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga
ada 5 cara.
Kotak (b) hanya dapat diisi angka 5 – 1 = 4 cara
karena 1 cara sudah diisikan di kotak (a).
Kotak (c) hanya dapat diisi angka 5 – 2 = 3 cara
karena 2 cara sudah diisikan di kotak (a) dan (b).
Kotak (d) hanya dapat diisi angka 5 – 3 = 2 cara
karena 3 cara sudah diisikan di kotak (a), (b),
dan (c).
Jadi, polisi itu dapat membuat plat nomor kendaraan sebanyak 5 × 4 × 3 × 2 = 120
plat nomor kendaraan.

3.8P3 =
8! 8! 8 7 6 5 4 3 2 1
(8 3)! 5! 5 4 3 2 1
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 8 ⋅ 7⋅ 6 = 336
b. 4P4 =
4! 4! 4 3 2 1
(4 4)! 0! 1
= = ⋅ ⋅ ⋅
−
= 24

4.Tentukan nilai n bila (n – 1)P2 = 20.
Penyelesaian
(n – 1)P2 = 20
( 1)!
( 1 2)!
n
n
−
− − = 20
( 1)!
( 3)!
n
n
−
− = 20
( 1)( 2) 3 2 1
( 3)( 4) 3 2 1
n n
n n
− − ⋅ ⋅
− − ⋅ ⋅
…
… = 20
(n – 1) (n – 2) = 20
n2 – 2n – n + 2 = 20
n2 – 3n + 2 – 20 = 0
n2 – 3n – 18 = 0
(n – 6) (n + 3) = 0
Buatlah kelompok-kelompok dalam kelasmu, kemudian buktikan:
nPn = n!
0! = 1
Cocokkan hasilnya dengan kelompok yang lain.
Selanjutnya, adakan diskusi tentang materi ini.
Peluang 63
n – 6 = 0 atau n + 3 = 0
n = 6 atau n = –3
Karena n bilangan positif maka n = 6.

5.Berapa banyak kata dapat disusun dari kata:

a. AGUSTUS
b. GAJAH MADA

Penyelesaian
a. AGUSTUS
Banyaknya huruf = 7, banyaknya S = 2, banyaknya U = 2
P =
7! 7 6 5 4 3 2 1
2!2! 2 1 2 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
= 1.260
b. GAJAH MADA
Banyaknya huruf = 9, banyaknya A = 4
P =
9! 9 8 7 6 5 4 3 2 1
4! 4 3 2 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
= 15.120

6. Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka:
a. 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7
b. 2, 2, 4, 4, 6, 6 dan 8
Penyelesaian
a. 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7
banyaknya angka = 7, banyaknya angka 4 = 3, banyaknya angka 5 = 3
P =
7! 7 6 5 4 3 2 1
3!3! 3 2 1 3 2 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 140

b. 2, 2, 4, 4, 6, 6, dan 8
banyaknya angka = 7, banyaknya angka 2 = 2, banyaknya angka 4 = 2
dan banyaknya angka 6 = 2
P =
7! 7 6 5 4 3 2 1
2!2!2! 2 1 2 1 2 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 630

7.Pada rapat pengurus OSIS SMA X dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingi
sebuah meja bundar. Berapakah susunan yang dapat terjadi?
Penyelesaian
P(siklis) = (6 – 1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120


8.Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
Penyelesaian
a. Karena banyaknya pemain putra ada 10 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
10C2 =
10! 10! 10 9 8....3 2 1 10 9
2!(10 2)! 2!8! 2 1 8 7....3 2 1 2
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 45 cara
b. Karena banyaknya pemain putri ada 8 orang dan dipilih 2, maka banyaknya
cara ada:
8C2 =
8! 8! 8 7 6 5 4 3 2 1
2!(8 2)! 2!6! 2 6 5 4 3 2 1
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
28 cara
c. Ganda campuran berarti 10 putra diambil satu dan 8 putri diambil 1, maka:
10C1 × 8C1 =
10! 8! 10! 8!
1!(10 1)! 2!(8 1)! 1!9! 1!7!
× = ×
− − = 10 × 8 = 80 cara
3. Berapa banyaknya nomor telepon yang terdiri dari 7 angka dapat dibuat
dengan 4 digit awalnya adalah 0812, tiga digit sisanya saling berbeda dan
bukan merupakan bilangan-bilangan 0, 3, atau 5, serta digit terakhirnya bukan
angka 9.
Matematika SMA dan MA Kelas XI 68 Program IPA
Penyelesaian
0812 . . .tiga digit terakhir bukan bilangan 0, 3, atau 5 maka 3
6 P serta digit
terakhir bukan angka 9 maka dikurangi 2
5 P → 6
3 P – 2
5 P =
6!
3!
– 5!
3!
= 100
Jadi banyaknya nomor telepon adalah 100 buah.

9.Sebuah kantong berisi 100 kartu yang diberi nomor 2 sampai dengan 101. Sebuah kartu diambil secara acak dari kantong itu. Tentukan peluang terambil kartu yang merupakan bilangan kuadrat ?
Pembahasan.
n(S) = 100
A = kejadian terambil kartu bilangan kuadrat
= {4,9,16,25,36,49,64,81,100}
n(A)= 9
Sehingga p(A) = n(A)/n(S)= 9/100

10.17 Kartu diberi nomor 1,2,3,….16,17. dimasukkan dalam sebuah kotak. Sebuah kartu diambil dari kotak secara acak. Tentukan peluang terambil kartu bernomor yang habis dibagi 2 dan 3.
Pembahasan
n(S) = 17
diantara Bilangan 1 sampai dengan 17 yang merupakan bilangan habis dibagi 2 dan 3 adalah 6 dan 12
sehingga n(A) = 2
JAdi p(A) = n(A)/n(S) = 2 / 17
soal no. 3
Sebuah tas berisi 5 bola merah dan beberapa bola biru, sebuah bola diambil secara acak dari tas. Jika peluang terambil sebuah bola biru sama dengan dua kali peluang terambil sebuah bola merah. Berapa banyak bola biru yang terdapat dalam tas.
Pembahasan.
Misal jumlah bola biru yang ada di dalam tas adalah x, maka jumlah bola merah dan biru adalah 5 + x, sehingga n(S) = 5 + x
A = kejadian terambil 1 bola merah, maka n(A) =5

B = kejadian terambil 1 bola biru, sehingga n(B) = x
, karena P(B)= 2 P(A), maka kita peroleh:
.
.
sehingga kita dapatkan x = 10. Jadi banyaknya bola biru yang ada di dalam tas ada 10 buah

BSE  SMA 11 MAT MATEMATIKA IPA NUGROHO